Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为

x=4cosθ y=4sinθ

（θ为参数，且0≤θ≤2π），点M是曲线C₁上的动点．
（Ⅰ）求线段OM的中点P的轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsin+1=0（ρ＞0），求点P到直线l距离的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据曲线C₁的参数方程设出M点坐标，用中点坐标公式求出线段OM的中点P的参数方程，在利用同角的正弦和余弦的平方和等于1消参数，就可得到点P的轨迹的直角坐标方程．
（Ⅱ）由直角坐标与极坐标关系

x=ρcosθ y=ρsibθ

求出直线l的直角坐标方程，由（Ⅰ）中得到的点P的方程知P点轨迹iwei圆心在坐标原点，半径为2的圆，所以点P到直线l距离的最大值是圆心到直线l的距离再加半径．

解答：解：（Ⅰ）曲线C₁上的动点M的坐标为（4cosθ，4sinθ），坐标原点O（0，0），
设P的坐标为（x，y），则由中点坐标公式得x=

1

2

（0+4c0sθ）=2cosθ，y=

1

2

（0+4sinθ）=2sinθ，
∴点P 的坐标为（2cosθ，2sinθ）
∴点P的轨迹的参数方程为

x=2cosθ y=2sibθ

（θ为参数，且0≤θ≤2π），
消去参数θ得点P轨迹的直角坐标方程为x²+y²=4
（Ⅱ）由直角坐标与极坐标关系

x=ρcosθ y=ρsibθ

得直线l的直角坐标方程为
x-y+1=0  
 又由（Ⅰ）知点P的轨迹为圆心在原点半径为2的圆，
因为原点（0，0）到直线x-y+1=0的距离为

|0-0+1|

12+(-1)2

=

2

2

所以点P到直线l距离的最大值2+

2

2

点评：本题主要考查了参数方程与普通方程的互换，极坐标与直角坐标的关系，以及直线和圆的位置关系的判断．