Question

【题目】已知椭圆过点，且短轴长为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点作轴的垂线，设点为第四象限内一点且在椭圆上（点不在直线上），点关于的对称点为，直线与椭圆交于另一点．设为坐标原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直线与直线平行，说明见解析

【解析】

（Ⅰ）根据短轴长和椭圆上的点构造方程组，求解得到，从而得到标准方程；（Ⅱ）根据与关于对称，可知直线与斜率互为相反数；假设方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得两根之积为，从而求得，同理可得，从而可求得，再利用直线方程求得；根据两点连线斜率公式得到，从而可得直线与直线平行.

（Ⅰ）由题意的：，解得，

椭圆的方程为

（Ⅱ）直线与直线平行，证明如下：

由题意，直线的斜率存在且不为零

关于对称，则直线与斜率互为相反数

设直线，

设，

由，消去得

同理

，

又

故直线与直线平行