题目内容
【题目】如图,已知椭圆
的长轴
,长为4,过椭圆的右焦点
作斜率为
(
)的直线交椭圆于
、
两点,直线
,
的斜率之积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线,直线
,
分别与
相交于
、
两点,设
为线段
的中点,求证:
.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)由长轴长为4可得a,设出点B,C的坐标,利用斜率之积为,可得
,即可得到b2,可得椭圆方程;
(2)设直线BC的方程为:y=k(x﹣1)与椭圆方程联立,得到根与系数的关系,直线的方程为:y
(x+2)与x=4联立,可得点M,N的坐标,可得线段MN的中点E.利用根与系数的关系及其斜率计算公式可得
,只要证明
1即可.
(1)设,
,因点
在椭圆上,所以
,
故.又
,
,
所以,即
,又
,所以
故椭圆的方程为
.
(2)设直线的方程为:
,
,
,
联立方程组,消去
并整理得,
,则
,
.
直线的方程为
,令
得
,
同理,;
所以,
代入化简得,即点
,又
,
所以,所以
.
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