题目内容
10.已知数列{an}的通项公式是an=2•3n-1+(-1)n(1n2-1n3)+(-1)nn1n3,求其前n项和Sn.分析 通过an=2•3n-1+(-1)n(1n2-1n3)+(-1)nn1n3分n为奇数、偶数两种情况讨论.当n为偶数时计算可知an-1+an=2•3n-2+2•3n-1+1n3,进而可知Sn=2(1+3+32+…+3n-1)+$\frac{n}{2}$•ln3,计算即得结论;当n为奇数时利用Sn=Sn+1-an+1计算即得结论.
解答 解:∵an=2•3n-1+(-1)n(1n2-1n3)+(-1)nn1n3,
∴当n为偶数时,n-1为奇数,
∴an-1+an=[2•3n-2-(1n2-1n3)-(n-1)1n3]+[2•3n-1+(1n2-1n3)+n1n3]
=2•3n-2+2•3n-1+1n3,
∴Sn=2(1+3+32+…+3n-1)+$\frac{n}{2}$•ln3
=2•$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$+$\frac{n}{2}$•ln3
=3n+$\frac{n}{2}$•ln3-1;
当n为奇数时,Sn=Sn+1-an+1
=3n+1+$\frac{n+1}{2}$•ln3-1-[2•3n+(1n2-1n3)+(n+1)1n3]
=3n-$\frac{n-1}{2}$•ln3-1-ln2;
综上所述,Sn=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{n}-\frac{n-1}{2}•ln3-1-ln2,}&{n为奇数}\\{{3}^{n}+\frac{n}{2}•ln3-1,}&{n为偶数}\end{array}\right.$.
点评 本题考查数列的求和,考查分类讨论的思想,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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