题目内容
【题目】已知四棱锥
中，面
面
，底面为矩形，且
，
，
，O为
的中点，点E在
上，且
．
（1）证明：
；
（2）在
上是否存在一点F，使
面
，若存在，试确定点F的位置．
【答案】（1）证明见解析（2）存在F为PB的三等分点(靠近点B)，证明见解析
【解析】
（1）连接
，利用勾股定理可证明
，由面
面
可得
，可得
面
，即可求证；
（2）取F为PB的三等分点(靠近点B)，N为BC的三等分点(靠近点B )，连接
，可证明平面
平面
，即可得证
（1）连接,
，如图，
在四棱锥
中，
，O为
的中点，
，又面面，
面，
在矩形中，
，
，
由勾股定理知
，解得
，
,
,
,
又
，
面,又
平面，
（2）存在F为PB的三等分点(靠近点B).
证明：取BC的三等分点M (靠近点C ) ,连接AM , 如图
易知
,
四边形
是平行四边形，
，
取BM中点N，连接ON，
N为BM中点， N为BC的三等分点(靠近点B )，
连接，
,
又
，
平面平面，又
平面
面
【题目】某购物商场分别推出支付宝和微信“扫码支付”购物活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用“扫码支付”．现统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用
表示活动推出的天数，
表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表所示：
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（1）根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程适合用
来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第
天使用扫码支付的人次；
（2）推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：
支付方式 | 现金 | 会员卡 | 扫码 |
比例 |
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商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受折优惠，扫码支付的顾客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的顾客，享受
折优惠的概率为
，享受折优惠的概率为
，享受
折优惠的概率为
．现有一名顾客购买了
元的商品，根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用是多少？
参考数据：设
，
，
，
参考公式：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
．
【题目】在平面直角坐标系
中，直线
过点
，倾斜角为
．以原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程
．
（1）写出直线的参数方程及曲线的直角坐标方程；
（2）若与相交于
，
两点，
为线段
的中点，且
，求
．
【题目】
年是打赢蓝天保卫战三年行动计划的決胜之年，近年来，在各地各部门共同努力下，蓝天保卫战各项任务措施稳步推进，取得了积极成效，某学生随机收集了甲城市近两年上半年中各
天的空气量指数
，得到频数分布表如下：
年上半年中天的
频数分布表
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天数 |
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年上半年中天的频数分布表
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天数 |
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（1）估计年上半年甲城市空气质量优良天数的比例；
（2）求年上半年甲城市的平均数和标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（精确到
）
（3）用所学的統计知识，比较
年上半年与年上半年甲城市的空气质量情况.
附：
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空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
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