题目内容
(2013•红桥区二模)已知椭圆:
+
=l(a>b>0)的一个顶点坐标为B(0,1),若该椭圆的离心率等于
.
(1)求椭圆的方程.
(2)设Q是椭圆上任意一点,F1F2分别是左、右焦点,求∠F1QF2的取值范围;
(3)以B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC,判断这样的三角形存在吗?若存在,有几个?若不存在,请说明理由.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
(1)求椭圆的方程.
(2)设Q是椭圆上任意一点,F1F2分别是左、右焦点,求∠F1QF2的取值范围;
(3)以B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC,判断这样的三角形存在吗?若存在,有几个?若不存在,请说明理由.
分析:(1)由题意可得b,由离心率等于
结和a2=b2+c2可求a,则椭圆的方程可求;
(2)在三角形F1QF2中,利用椭圆定义及余弦定理可求∠F1QF2的取值范围;
(3)假设这样的三角形存在,设AB的方程为y=kx+1(k>0),则BC的方程为y=-
x+1.把两直线分别和椭圆联立后求出A、C点的横坐标,由|AB|=|AC|得到含有A、C横坐标的等式,把A、C的横坐标代入等式后即可求得k的值.
| ||
2 |
(2)在三角形F1QF2中,利用椭圆定义及余弦定理可求∠F1QF2的取值范围;
(3)假设这样的三角形存在,设AB的方程为y=kx+1(k>0),则BC的方程为y=-
1 |
k |
解答:解:(1)依题意,b=1,因为椭圆的离心率等于
,
所以
=
=1-
=
,解得a2=4,
所以椭圆的方程为
+y2=1.
(2)设|QF1|=m,|QF2|=n,则m+n=4,|F1F2|=2
,
在三角形F1QF2中,由余弦定理得:
cos∠F1QF2=
=
=
=
-1≥
-1=-
,
当且仅当m=n时“=”成立.
所以-
≤cos∠F1QF2≤1,故0°≤∠F1QF2≤120°;
(3)假设这样的三角形存在,设AB的方程为y=kx+1(k>0),
则BC的方程为y=-
x+1.
联立
,得(4k2+1)x2+8kx=0,解得xA=-
①.
联立
,得xC=-
②.
因为|AB|=|AC|,所以xA2+(yA-1)2=xC2+(yC-1)2,
将yA=kxA+1,yC=-
xC+1代入得:
k2(4+k2)2=(4k2+1)2,即[k(4+k2)+1+4k2][k(4+k2)-(1+4k2)]=0.
因为k>0,k(4+k2)+1+4k2>0,得(k-1)(k2-3k+1)=0,
解得k=1,k=
,k=
,
所以存在这样的等腰直角三角形.
| ||
2 |
所以
c2 |
a2 |
a2-b2 |
a2 |
1 |
a2 |
3 |
4 |
所以椭圆的方程为
x2 |
4 |
(2)设|QF1|=m,|QF2|=n,则m+n=4,|F1F2|=2
3 |
在三角形F1QF2中,由余弦定理得:
cos∠F1QF2=
m2+n2-12 |
2mn |
(m+n)2-2mn-12 |
2mn |
=
4-2mn |
2mn |
2 |
mn |
2 | ||
|
1 |
2 |
当且仅当m=n时“=”成立.
所以-
1 |
2 |
(3)假设这样的三角形存在,设AB的方程为y=kx+1(k>0),
则BC的方程为y=-
1 |
k |
联立
|
8k |
1+4k2 |
联立
|
8k |
4+k2 |
因为|AB|=|AC|,所以xA2+(yA-1)2=xC2+(yC-1)2,
将yA=kxA+1,yC=-
1 |
k |
k2(4+k2)2=(4k2+1)2,即[k(4+k2)+1+4k2][k(4+k2)-(1+4k2)]=0.
因为k>0,k(4+k2)+1+4k2>0,得(k-1)(k2-3k+1)=0,
解得k=1,k=
3+
| ||
2 |
3-
| ||
2 |
所以存在这样的等腰直角三角形.
点评:本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线和圆锥曲线的关系,训练了利用椭圆定义及余弦定理求解椭圆中与三角形有关的问题,考查了数学转化思想方法,考查了学生的计算能力,是难题.
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