题目内容

(2013•红桥区二模)已知椭圆:
x2
a2
+
y2
b2
=l(a>b>0)的一个顶点坐标为B(0,1),若该椭圆的离心率等于
3
2

(1)求椭圆的方程.
(2)设Q是椭圆上任意一点,F1F2分别是左、右焦点,求∠F1QF2的取值范围;
(3)以B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC,判断这样的三角形存在吗?若存在,有几个?若不存在,请说明理由.
分析:(1)由题意可得b,由离心率等于
3
2
结和a2=b2+c2可求a,则椭圆的方程可求;
(2)在三角形F1QF2中,利用椭圆定义及余弦定理可求∠F1QF2的取值范围;
(3)假设这样的三角形存在,设AB的方程为y=kx+1(k>0),则BC的方程为y=-
1
k
x+1
.把两直线分别和椭圆联立后求出A、C点的横坐标,由|AB|=|AC|得到含有A、C横坐标的等式,把A、C的横坐标代入等式后即可求得k的值.
解答:解:(1)依题意,b=1,因为椭圆的离心率等于
3
2

所以
c2
a2
=
a2-b2
a2
=1-
1
a2
=
3
4
,解得a2=4,
所以椭圆的方程为
x2
4
+y2=1

(2)设|QF1|=m,|QF2|=n,则m+n=4,|F1F2|=2
3

在三角形F1QF2中,由余弦定理得:
cos∠F1QF2=
m2+n2-12
2mn
=
(m+n)2-2mn-12
2mn

=
4-2mn
2mn
=
2
mn
-1≥
2
(m+n)2
4
-1=-
1
2

当且仅当m=n时“=”成立.
所以-
1
2
≤cos∠F1QF2≤1
,故0°≤∠F1QF2≤120°
(3)假设这样的三角形存在,设AB的方程为y=kx+1(k>0),
则BC的方程为y=-
1
k
x+1

联立
y=kx+1
x2+4y2=4
,得(4k2+1)x2+8kx=0,解得xA=-
8k
1+4k2
①.
联立
y=-
1
k
x+1
x2+4y2=4
,得xC=-
8k
4+k2
②.
因为|AB|=|AC|,所以xA2+(yA-1)2=xC2+(yC-1)2
yA=kxA+1,yC=-
1
k
xC+1
代入得:
k2(4+k22=(4k2+1)2,即[k(4+k2)+1+4k2][k(4+k2)-(1+4k2)]=0.
因为k>0,k(4+k2)+1+4k2>0,得(k-1)(k2-3k+1)=0,
解得k=1,k=
3+
5
2
,k=
3-
5
2

所以存在这样的等腰直角三角形.
点评:本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线和圆锥曲线的关系,训练了利用椭圆定义及余弦定理求解椭圆中与三角形有关的问题,考查了数学转化思想方法,考查了学生的计算能力,是难题.
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