Question

19．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=t+a}\\{y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），则直线l将曲线C的周长分为1：5，则实数a=-1或5．

Answer 1

分析 把参数方程、极坐标化为直角坐标方程，由题意可得弦长对应的弦心角为60°，弦心距等于半径的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍，再利用点到直线的距离公式求得a的值．

解答 解：曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为直角坐标方程为 （x-2）²+y²=4，表示以（2，0）为圆心、半径为2的圆．
直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=t+a}\\{y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），化为直角坐标方程为x+$\sqrt{2}$y-a=0．
由直线l将曲线C的周长分为1：5，可得直线l被圆解得的弦长对应的弧长为圆周的$\frac{1}{6}$，故弦长对应的弦心角为60°，
故弦心距等于半径的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍，即$\frac{|2+0-a|}{\sqrt{3}}$=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求得a=-1，或 a=5，
故答案为：-1或5．

点评 本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．