题目内容
【题目】已知椭圆:
(
)的离心率为
,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左焦点为
,右焦点为
,直线
过点
且垂直于椭圆的长轴,动直线
垂直
于点
,线段
的垂直平分线交
于点
,求点
的轨迹
的方程;
(3)设为坐标原点,取
上不同于
的点
,以
为直径作圆与
相交另外一点
,求该圆面积的最小值时点
的坐标.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
试题分析:(1)借助题设条件建立方程组求解;(2)运用抛物线的定义求解;(3)借助题设运用圆与抛物线的位置关系探求.
试题解析:
(1)由,得
,再由
,解得
……………………1分
由题意可知,即
…………………………………………………2分
解方程组得
,
……………………………………………………3分
所以椭圆的方程是
……………………………………………………………4分
(2)因为,所以动点
到定直线
:
的距离等于它到定点
的距离,所以动点
的轨迹
是以
为准线,
为焦点的抛物线,…………………………………………6分
所以点的轨迹
的方程为
………………………………………………………7分
(3)因为以为直径的圆与
相交于点
,所以
,即
…8分
设,
,
,
所以
因为,
,化简得
……………………………………9分
所以,
当且仅当即
,
时等号成立.…………………………10分
圆的直径
因为,所以当
即
时,
,…………………11分
所以所求圆的面积的最小时,点的坐标为
………………………………12分
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