题目内容
【题目】已知椭圆:()的离心率为,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左焦点为,右焦点为,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点,线段的垂直平分线交于点,求点的轨迹的方程;
(3)设为坐标原点,取上不同于的点,以为直径作圆与相交另外一点,求该圆面积的最小值时点的坐标.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
试题分析:(1)借助题设条件建立方程组求解;(2)运用抛物线的定义求解;(3)借助题设运用圆与抛物线的位置关系探求.
试题解析:
(1)由,得,再由,解得……………………1分
由题意可知,即…………………………………………………2分
解方程组得,……………………………………………………3分
所以椭圆的方程是……………………………………………………………4分
(2)因为,所以动点到定直线:的距离等于它到定点的距离,所以动点的轨迹是以为准线,为焦点的抛物线,…………………………………………6分
所以点的轨迹的方程为………………………………………………………7分
(3)因为以为直径的圆与相交于点,所以,即…8分
设,,,
所以
因为,,化简得……………………………………9分
所以,
当且仅当即,时等号成立.…………………………10分
圆的直径
因为,所以当即时,,…………………11分
所以所求圆的面积的最小时,点的坐标为………………………………12分
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