题目内容
【题目】设函数,
.
(1)求的单调区间和极值;
(2)证明:若存在零点,则
在区间
上仅有一个零点.
【答案】(1)单调递减区间是,单调递增区间是
;极小值
;(2)证明详见解析.
【解析】
试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.(Ⅰ)先对求导,令
解出
,将函数的定义域断开,列表,分析函数的单调性,所以由表格知当
时,函数取得极小值,同时也是最小值;(Ⅱ)利用第一问的表,知
为函数的最小值,如果函数有零点,只需最小值
,从而解出
,下面再分情况分析函数有几个零点.
试题解析:(Ⅰ)由,(
)得
.
由解得
.
与
在区间
上的情况如下:
所以,的单调递减区间是
,单调递增区间是
;
在
处取得极小值
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在区间
上的最小值为
.
因为存在零点,所以
,从而
.
当时,
在区间
上单调递减,且
,
所以是
在区间
上的唯一零点.
当时,
在区间
上单调递减,且
,
,
所以在区间
上仅有一个零点.
综上可知,若存在零点,则
在区间
上仅有一个零点.

【题目】(题文)某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验,准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨,其实验数据统计如下:
方式 | 实施地点 | 大雨 | 中雨 | 小雨 | 模拟实验总次数 |
A | 甲 | 4次 | 6次 | 2次 | 12次 |
B | 乙 | 3次 | 6次 | 3次 | 12次 |
C | 丙 | 2次 | 2次 | 8次 | 12次 |
假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响,请你根据人工降雨模拟实验的统计数据:
(1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率;
(2)考虑到旱情和水土流失,如果甲地恰需中雨即达到理想状态,乙地必须是大雨才达到理想状态,丙地只要是小雨或中雨即达到理想状态,记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和均值E(ξ).
【题目】某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示,该地周光照量(小时)都在30小时以上,其中不足50小时的周数有5周,不低于50小时且不超过70小时的周数有35周,超过70小时的周数有10周.根据统计,该基地的西红柿增加量
(百斤)与使用某种液体肥料
(千克)之间对应数据为如图所示的折线图.
(1)依据数据的折线图,是否可用线性回归模型拟合与
的关系?请计算相关系数
并加以说明(精确到0.01).(若
,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)
(2)蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪,但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制,并有如下关系:
周光照量 | |||
光照控制仪最多可运行台数 | 3 | 2 | 1 |
若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪周利润为3000元;若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损1000元.若商家安装了3台光照控制仪,求商家在过去50周周总利润的平均值.
附:相关系数公式,参考数据
,
.