题目内容

已知f(x)是定义域为R上的奇函数,且当x>0时有f(x)=log 
110
x

(1)求f(x)的解析式;  
(2)解不等式f(x)≤2.
分析:(1)(x)是定义域为R上的奇函数,且当x>0时有f(x)=log 
1
10
x
.由x<0时,-x>0,知f(-x)=log
1
10
(-x)
,故f(x)=-f(-x)=-log
1
10
(-x)
,由此能求出f(x).
(2)由f(x)≤2,知
x>0
log
1
10
x≤2
,或
x<0
-log
1
10
(-x)≤2
,由此能求出f(x)≤2的解集.
解答:解:(1)∵f(x)是定义域为R上的奇函数,且当x>0时有f(x)=log 
1
10
x

x<0时,-x>0,
∴f(-x)=log
1
10
(-x)

∴f(x)=-f(-x)=-log
1
10
(-x)

又∵f(0)=-f(0),∴f(0)=0,
综上所述f(x)=
log
1
10
x,x>0
0,x=0
-log
1
10
(-x),x<0

(2)∵f(x)≤2,
x>0
log
1
10
x≤2
,或
x<0
-log
1
10
(-x)≤2

解得x≥
1
100
,或-100≤x<0,
又∵f(0)=0<2,
∴f(x)≤2的解集是[-100,0]∪[
1
100
,+∞).
点评:本题考查函数的解析式的求法,考查不等式的解法,解题时要认真审题,仔细解答,注意函数的奇偶性和不等式性质的合理运用.
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