Question

3．已知函数f（x）=ln（2x），函数g（x）=$\frac{1}{f′（x）}$+af′（x），y=g（x）在x=1处的切线与直线y=-x-5平行．
（1）求a的值．
（2）求直线y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$与曲线y=g（x）所围成的图形的面积．
（3）若函数F（x）=f（x）+g（x）+2b在x∈（0，+∞）有且只有两个零点，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得g（x）的解析式，求出导数，求得切线的斜率，解方程可得a=2；
（2）作出直线y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$与曲线y=g（x），由图象观察，可得所求图形的面积为S=$\frac{1}{2}$×2×（3+$\frac{9}{2}$）-${∫}_{2}^{4}$（x+$\frac{2}{x}$）dx，运用定积分计算即可得到所求值；
（3）由题意可得-2b=ln（2x）+x+$\frac{2}{x}$在x＞0有两个不等的实根．设h（x）=ln（2x）+x+$\frac{2}{x}$（x＞0），求得导数，求出单调区间和极小值，也为最小值，即可得到b的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=ln（2x）的导数为f′（x）=$\frac{2}{2x}$=$\frac{1}{x}$，
g（x）=$\frac{1}{f′（x）}$+af′（x）=x+$\frac{a}{x}$，g′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
由题意可得，y=g（x）在x=1处的切线斜率为1-a=-1，解得a=2；
（2）作出直线y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$与曲线y=g（x），由图1可得，
在[2，4]上围成一个图形．交点为（2，3），（4，$\frac{9}{2}$），
则所求图形的面积为S=$\frac{1}{2}$×2×（3+$\frac{9}{2}$）-${∫}_{2}^{4}$（x+$\frac{2}{x}$）dx
=$\frac{15}{2}$-（$\frac{1}{2}$x²+2lnx）|${\;}_{2}^{4}$=$\frac{15}{2}$-（8+2ln4-2-2ln2）=$\frac{3}{2}$-2ln2；
（3）由题意可得-2b=ln（2x）+x+$\frac{2}{x}$在x＞0有两个不等的实根．
设h（x）=ln（2x）+x+$\frac{2}{x}$（x＞0），h′（x）=$\frac{1}{x}$+1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）递增；当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减．
即有x=1处取得极小值，且为最小值3+ln2，
由图2，可得-2b＞3+2ln2时，y=-2b和y=h（x）有两个交点．
解得b＜-$\frac{3+2ln2}{2}$．
则b的取值范围是（-∞，-$\frac{3+2ln2}{2}$）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想和数形结合的思想方法，考查面积的求法，注意运用定积分运算，属于中档题．