Question

15．如图，在圆锥PO中，已知PO=$\sqrt{2}$，圆O的直径AB=2，C是弧AB的中点，D为AC的中点．
（1）求异面直线PD和BC所成的角
（2）求直线OC和平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知得OD∥BC，从而异面直线PD和BC所成的角为∠PDO，由此能求出异面直线PD和BC所成的角．
（2）在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，由已知得∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角．由此能求出直线OC和平面PAC所成角的正弦值．

解答 解：（1）∵O，D分别是AB和AC的中点，∴OD∥BC，
∴异面直线PD和BC所成的角为∠PDO，
在△ABC中，AB=2，C是AB的中点，D为AC的中点，
∴$AC=BC=\sqrt{2}\;，OD=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又∵$PO=\sqrt{2}$，PO⊥面ABC，
∴$tan∠PDO=\frac{PO}{OD}=2$，
∴异面直线PD和BC所成的角为arctan2．
（2）∵OA=OC，D是AC的中点，∴AC⊥OD，
又PO⊥底面ABC，AC?底面ABC，∴AC⊥PO，
∵OD∩PO=O，∴AC⊥平面POD，
又AC?平面PAC，∴平面POD⊥平面PAC，
在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，
则OH⊥平面PAC，连结CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，
∴∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角．
在Rt△POD中，OH=$\frac{PO•OD}{\sqrt{P{O}^{2}+O{D}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{1}{2}}{\sqrt{2+\frac{1}{4}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
在Rt△OHC中，sin∠OCH=$\frac{OH}{OC}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴直线OC和平面PAC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查线面解的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．