题目内容
【题目】点是直线
上的动点,过点
的直线
、
与抛物线
相切,切点分别是
、
.
(1)证明:直线过定点;
(2)以为直径的圆过点
,求点
的坐标及圆的方程.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)设点、
、
,利用导数求出切线
、
的方程,将点
的坐标代入直线
、
的方程,可得出直线
的方程,进而可得出直线
所过的定点坐标;
(2)设直线的方程为
,将该直线方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,由题意得出
,利用向量数量积的坐标运算,代入韦达定理可求得
,进而可得出点
的坐标以及圆的标准方程.
(1)设点、
、
,
对函数求导得
,所以,直线
的方程为
,即
,
同理可得直线的方程为
,
将点的坐标代入直线
、
的方程得
,
所以,点、
的坐标满足方程
,
由于两点确定一条直线,所以,直线的方程为
,该直线过定点
;
(2)设直线的方程为
,
将直线的方程与抛物线的方程联立得
,则
,
由韦达定理得,
,
因为在
为直径的圆上,所以
,
,同理
,
,即
,解得
或
.
当时,
,直线
的方程为
,圆心为
,半径
,圆的标准方程为
;
当时,
,直线
的方程为
,圆心为
,半径
,圆的标准方程为
.
综上所述,当时,
,圆的标准方程为
;
当时,
,圆的标准方程为
.

【题目】共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务,由于其依托“互联网+”,符合“低碳出行”的理念,已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调査,并将问卷中的这50人根据其满意度评分值(百分制)按照分成5组,请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题:
频率分布表
组别 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | 8 | 0.16 | |
第2组 | ▆ | ||
第3组 | 20 | 0.40 | |
第4组 | ▆ | 0.08 | |
第5组 | 2 | ||
合计 | ▆ | ▆ |
(1)求的值;
(2)若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈,求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.