题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的右焦点为
，左、右顶点分别为
、
，上、下顶点分别为
、
，连结
并延长交椭圆于点
，连结
，
，记椭圆
的离心率为
.
（1）若
，
.
①求椭圆的标准方程；
②求
和
的面积之比.
（2）若直线
和直线的斜率之积为
，求的值.
【答案】（1）①
.②
；（2）
.
【解析】
（1）①设椭圆的焦距为
，根据题意列出有关
、
、
的方程组，求出、的值，可得出椭圆的标准方程；
②求出直线
的方程，将该直线方程与椭圆
的标准方程联立，求出点
的坐标，再利用三角形的面积公式可求出
和
的面积之比；
（2）先利用截距式得出直线
的方程为
，将该直线方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，利用斜率公式计算出直线
和的斜率，然后由这两条直线的斜率之积为
，得出关于、的齐次方程，由此可解出椭圆的离心率
的值.
（1）①设椭圆的焦距为，由题意，得
，解得
，
所以椭圆的标准方程为；
②由①知，
、
，
，
，
所以直线的方程为
，
将其代入椭圆的方程，得
，即
，
所以
或
，所以点的坐标为
.
从而和的面积之比：
；
（2）因为
、
在直线上，所以直线的方程为.
解方程组
，得
或
，
所以点的坐标为
.
因为直线的斜率
，
直线的斜率
，
又因为直线和直线的斜率之积为，
所以
，
即
，化简得
，
，解得.
因此，椭圆的离心率为.
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名职工，统计了他们一周内路边停车的时间
（单位：
），整理得到数据分组及频率分布直方图如下：
组号 | 分组 | 频数 |
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（1）从该单位随机选取一名职工，试估计其在该周内路边停车的时间少于
小时的概率；
（2）求频率分布直方图中
，
的值.
