题目内容

19.已知函数f(x)=(2x-4a)lnx+x,a>0
(Ⅰ)求函数g(x)=xf(x)的单调区间;
(Ⅱ)若?x∈[1,+∞),不等式f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.

分析 (1)求出g(x)的导数,对a讨论,①若0<a<$\frac{1}{e}$,②若a=$\frac{1}{e}$,③若a>$\frac{1}{e}$,由导数大于0,可得增区间,由导数小于0,得减区间;
(Ⅱ)运用不等式恒成立的思想,对a讨论,求出f(x)的最小值即可得到a的范围.

解答 解:(1)g′(x)=$\frac{1}{x}$(2x2-4ax)+lnx(4x-4a)+2x
=4x-4a+lnx(4x-4a)=4(x-a)(lnx+1),(x>0).
①若0<a<$\frac{1}{e}$,当x∈(0,a),x∈($\frac{1}{e}$,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(a,$\frac{1}{e}$)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)的单调递增区间是(0,a),($\frac{1}{e}$,+∞);单调递减区间是(a $\frac{1}{e}$).
②若a=$\frac{1}{e}$,f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.
③若a>$\frac{1}{e}$,当x∈(0,$\frac{1}{e}$),x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈($\frac{1}{e}$,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)的单调递增区间是(0,$\frac{1}{e}$),(a,+∞);
单调递减区间是($\frac{1}{e}$,a)
(Ⅱ)因为x≥1,(2x2-4ax)lnx+x2>0对x≥1恒成立,
由(Ⅰ)可知,当0<a≤$\frac{1}{e}$时,f(x)在[1,+∞)上单调递增,则f(x)min=f(1)>0,成立,
故0<a≤$\frac{1}{e}$.
当$\frac{1}{e}$<a≤1,则f(x)在[1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(1)=1>0恒成立,符合要求.
当a>1时,f(x)在(1,a)上单调递减,(a,+∞)上单调递增,则
f(x)min=f(a)>0,即(2a2-4a2)lna+a2>0,1<a<$\sqrt{e}$.
综上所述,0<a<$\sqrt{e}$.

点评 本题考查导数的运用:求单调区间和单调性的判断,同时考查函数的单调性的运用,运用分类讨论的思想方法是解题的关键.

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