题目内容
7．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b为常数）的图象过原点，且有x=1的切线为y=-$\frac{1}{2}$．（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．
分析 （1）由题意可得f（0）=0，f（1）=-$\frac{1}{2}$，f′（1）=0，即可求得a，b，c，进而得到所求解析式；
（2）求出导数，令导数大于0，解不等式即可得到增区间．
解答 解：（1）函数f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b为常数）的图象过原点，
可得f（0）=0，即有c=0，
又导数为f′（x）=3x2+2ax+b，
在x=1处的切线为y=-$\frac{1}{2}$，则f（1）=-$\frac{1}{2}$，f′（1）=0，
即为1+a+b=-$\frac{1}{2}$，3+2a+b=0，
解得a=-$\frac{3}{2}$，b=0，
即有f（x）=x3-$\frac{3}{2}$x2；
（2）f（x）=x3-$\frac{3}{2}$x2的导数为f′（x）=3x2-3x，
令导数f′（x）＞0，可得x＞1或x＜0．
则函数f（x）的单调增区间为（-∞，0），（1，+∞）．
点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，主要考查导数的几何意义，同时考查二次不等式的解法，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
20．若程序框图如图所示，则程序运行后输出的值是（ ）
| A． | 2 | B． | 3 | C． | 4 | D． | 5 |
在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB=a，∠ABC=θ，△ABC的面积为P，正方形面积为Q．求$\frac{P}{Q}$的最小值．
16．在平面直角坐标系xOy中，椭圆$\frac{x{\;}^{2}}{a{\;}^{2}}$+$\frac{y{\;}^{2}}{b{\;}^{2}}$=1（a＞b＞0）内接四边形ABCD（点A、B、C、D在椭圆上）的对角线AC、BD相交于P（$\frac{1}{b{\;}^{2}}$，$\frac{1}{a{\;}^{2}}$），且$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{PD}$，则直线AB的斜率为（ ）
| A． | $\frac{-a{\;}^{2}-c{\;}^{2}}{c{\;}^{2}}$ | B． | $\frac{c（λ-1）}{a}$ | C． | -1 | D． | -2 |
如图，平行四边形OADB的对角线OD、AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM，线段CD上有一点N满足CD=3CN，设|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=6，∠AOB=60°．