题目内容
【题目】已知函数
.
（1）讨论函数
的零点个数；
（2）已知
，证明：当
时，
.
【答案】（1）当
或
时，
个零点；当
时，
个零点；当
时，
个零点.（2）见解析
【解析】分析：（1）先换元，令
得到
，转化成求函数
的零点个数，再对a分类讨论求函数
的零点个数. (2)先转化成只需证
.再转化成左边函数的最大值，小于右边函数的最小值.
详解：（1）
.令
.
令，则函数与
的零点个数情况一致. 
.
1）时，
在
上单调递增.
又
个零点.
2）
时，
在
上单调递增，
上单调递减.
.
①
即时，
，无零点.
②
即时，
个零点.
③
即时，
，又
.
又
，
，
令
，
在
上单调递增，
两个零点.
综上：当或时，个零点；当时，个零点；当时，个零点.
（2）要证
，只需证.
令
，只需证：
.
令
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
.
令
在
上单调递增，
，
故.
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