Question

由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）能确定数列b_n，b_n=f^-1（n）若对于任意n∈N^*都有b_n=a_n，则称数列{b_n}是数列{a_n}的“自反函数列”
（1）设函数f（x）=，若由函数f（x）确定的数列{a_n}的自反数列为{b_n}，求a_n；
（2）已知正整数列{c_n}的前项和s_n=（c_n+）．写出S_n表达式，并证明你的结论；
（3）在（1）和（2）的条件下，d₁=2，当n≥2时，设d_n=，D_n是数列{d_n}的前n项和，且D_n＞log_a（1-2a）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：解：（1）由f（x）=结合b_n=f^-1（n）若对于任意n∈N^*都有b_n=a_n求解，
（2）由正整数c_n的前n项和则由通项与前n项和之间的关系求解，要注意分类讨论；
（3）在（1）和（2）的条件下，d₁=2，∴D₁=2，则n≥2时，，由D_n是数列d_n的前n项和有D_n=₁+d₂+…+d_n用裂项相消法求解，再由D_n＞log_a（1-2a）恒成立，即log_a（1-2a）小于D_n的最小值，只要求得D_n的最小值即可．
解答：解：（1）由题意得

∵
∴P=-1∴

（2）∵正整数c_n的前n项和
∴
解之得∴c₁=1，s₁=1
当n≥2时，c_n=s_n-s_n-1
∴
∴
s_n²-s_n-1²=n
∴s_n-1²-s_n-2²=n-1
s_n-2²-s_n-2²=n-2
s₂²-s₁²=2
以上各式累加，得∴，

（3）在（1）和（2）的条件下，d₁=2∴D₁=2
当n≥2时，设，由D_n是数列d_n的前n项和
有D_n=₁+d₂+…+d_n
=
=
综上
因为D_n＞log_a（1-2a）恒成立，所以log_a（1-2a）小于D_n的最小值，
显然D_n的最小值在n=1时取得，即[D_n]_min=2
∴log_a（1-2a）＜2
∴a满足的条件是
，∴log_a（1-2a）＜2
解得
点评：本题一道新定义题，考查了反函数的求法，数列通项与前n项和间的关系以及累加法求通项和裂项相消法求前n项和等知识和方法，综合性较强．