题目内容

14.已知三棱锥P-ABC,底面ABC是边长为233的正三角形,平面PBC⊥平面ABC,PB=PC=2,D为AP上一点,AD=2DP,O是底面三角形的重心.
(1)求证:BD⊥AC;
(2)求多面体PDOBC的体积.

分析 (1)取BC的中点M,连接PM、AM、BN、DN,在△PBC中,结合线面垂直的性质可得PM⊥平面ABC,在△ABC中,结合等边三角形以及三角形重心的性质,分析可得DO∥PM,又由于线面垂直的性质可得证明;
(2)根据题意,分析可得V多面体PDOBC=VB-PDOM+VC-PDOM,由于PM⊥BC且BC⊥AM,可得BC⊥平面PMA,即可得四棱锥B-PDOM与C-PDOM高,由梯形的面积公式S梯形DOMP=5656,带入棱锥体积公式计算可得答案.

解答 解:(1)取BC的中点M,连接PM、AM、BN、DN,
∵在△PBC中,PB=PC,M为BC的中点,
∴PM⊥BC,
又∵平面PBC⊥平面ABC,
∴PM⊥平面ABC;
∵△ABC是正三角形,O是底面三角形的重心,
∴O在直线AM与直线BN的交点,且AO=2MO,
又∵D为AP上一点,AD=2DP,
∴DO∥PM,
又∵PM⊥平面ABC,
∴DO⊥平面ABC,
∴DO⊥AC,
又∵BN⊥AC,且DO与BN都在平面BND中,且交与点O,
∴AC⊥BD,
(2)根据题意,分析可得V多面体PDOBC=VB-PDOM+VC-PDOM
∵PM⊥BC,且BC⊥AM,
∴BC⊥平面PMA,
BM=CM=1212BC=33,即四棱锥B-PDOM与C-PDOM高均为33
又由于DO∥PM,即四边形DOMP是梯形,且OM⊥MP,
且其中AM=3,OM=1313AM=1,PM=1,DO=2323PM=2323
则S梯形DOMP=5656
V多面体PDOBC=VB-PDOM+VC-PDOM=1313×5656×33+1313×5656×33=53185318

点评 本题考查多面体的体积计算以及空间线面、面面垂直的性质的运用,求多面体的求体积时一般用分割补型的方法.

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