题目内容
14.分析 (1)取BC的中点M,连接PM、AM、BN、DN,在△PBC中,结合线面垂直的性质可得PM⊥平面ABC,在△ABC中,结合等边三角形以及三角形重心的性质,分析可得DO∥PM,又由于线面垂直的性质可得证明;
(2)根据题意,分析可得V多面体PDOBC=VB-PDOM+VC-PDOM,由于PM⊥BC且BC⊥AM,可得BC⊥平面PMA,即可得四棱锥B-PDOM与C-PDOM高,由梯形的面积公式S梯形DOMP=5656,带入棱锥体积公式计算可得答案.
解答 解:(1)取BC的中点M,连接PM、AM、BN、DN,
∵在△PBC中,PB=PC,M为BC的中点,
∴PM⊥BC,
又∵平面PBC⊥平面ABC,
∴PM⊥平面ABC;
∵△ABC是正三角形,O是底面三角形的重心,
∴O在直线AM与直线BN的交点,且AO=2MO,
又∵D为AP上一点,AD=2DP,
∴DO∥PM,
又∵PM⊥平面ABC,
∴DO⊥平面ABC,
∴DO⊥AC,
又∵BN⊥AC,且DO与BN都在平面BND中,且交与点O,
∴AC⊥BD,
(2)根据题意,分析可得V多面体PDOBC=VB-PDOM+VC-PDOM,
∵PM⊥BC,且BC⊥AM,
∴BC⊥平面PMA,
BM=CM=1212BC=√3√3,即四棱锥B-PDOM与C-PDOM高均为√3√3,
又由于DO∥PM,即四边形DOMP是梯形,且OM⊥MP,
且其中AM=3,OM=1313AM=1,PM=1,DO=2323PM=2323,
则S梯形DOMP=5656,
V多面体PDOBC=VB-PDOM+VC-PDOM=1313×5656×√3√3+1313×5656×√3√3=5√3185√318.
点评 本题考查多面体的体积计算以及空间线面、面面垂直的性质的运用,求多面体的求体积时一般用分割补型的方法.
A. | 24 | B. | 25 | C. | 26 | D. | 27 |
A. | π4π4 | B. | π3π3 | C. | π2π2 | D. | 3π43π4 |