题目内容
【题目】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ< )的图象与y轴的交点为(0, ),它的一个对称中心是M( ,0),点M与最近的一条对称轴的距离是 .
(1)求此函数的解析式;
(2)求此函数取得最大值时x的取值集合;
(3)当x∈(0,π)时,求此函数的单调递增区间.
【答案】
(1)解:函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ< )的图象
的一个对称中心是M( ,0),点M与最近的一条对称轴的距离是 ,故 ,
求得ω=2,φ= .
再根据函数的图象与y轴的交点为(0, ),可得Asin(ω0+ )= ,∴A=2,
函数f(x)=2sin(2x+ ).
(2)解:令2x+ =2kπ+ ,求得 x=kπ+ ,k∈Z,故函数取得最大值时x的取值集合为{x|x=kπ+ ,k∈Z}
(3)解:令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ,求得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ,可得函数的增区间为[2kπ﹣ ,2kπ+ ],k∈Z.
再结合x∈(0,π),可得函数的增区间为(0, ]、[ ,π)
【解析】(1)由函数的周期性、图象的对称性求出ω、φ的值,由特殊点的坐标求出A的值,可得函数的解析式.(2)利用正弦函数的最大值,求得函数取得最大值时x的取值集合.(3)利用正弦函数的调增区间,求得当x∈(0,π)时,此函数的单调递增区间.