Question

【题目】如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5n mile，与小岛D相距为 n mile．小岛A对小岛B与D的视角为钝角，且 ．
（Ⅰ）求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；
（Ⅱ）记小岛D对小岛B与C的视角为α，小岛B对小岛C与D的视角为β，求sin（2α+β）的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ，且角A为钝角，∴ ．
在△ABD中，由余弦定理得：AD2+AB2﹣2ADABcosA=BD2 ．
∴ AD2+8AD﹣20=0．
解得AD=2或AD=﹣10（舍）．
∴小岛A与小岛D之间的距离为2n mile．
∵A，B，C，D四点共圆，∴角A与角C互补．
∴ ， ．
在△BDC中，由余弦定理得：CD2+CB2﹣2CDCBcosC=BD2 ．
∴ CD2﹣8CD﹣20=0．
解得CD=﹣2（舍）或CD=10
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△BCD
= = =3+15=18．
∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方n mile．
（Ⅱ）在△BDC中，由正弦定理得： ．
∵DC2+DB2＞BC2 ， ∴α为锐角，∴ ．
又∵ ， ．
∴sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]
=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）
= =
【解析】（Ⅰ）利用余弦定理求出，AD，CD，即可求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；（Ⅱ）求出sin（α+β），cos（α+β），利用和角的三角函数公式求sin（2α+β）的值．