题目内容

【题目】如图所示,已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=4,E是棱CC1上的点,且BE⊥B1C.

(1)求CE的长;
(2)求证:A1C⊥平面BED;
(3)求A1B与平面BDE夹角的正弦值.

【答案】
(1)解:如图所示,

以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz.

∴D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),

B1(2,2,4),C1(0,2,4),D1(0,0,4).

设E点坐标为(0,2,t),则 =(﹣2,0,t), =(﹣2,0,﹣4).

∵BE⊥B1C,∴ =4+0﹣4t=0.

∴t=1,故CE=1.


(2)证明:由(1)得,E(0,2,1), =(﹣2,0,1),

=(﹣2,2,﹣4), =(2,2,0)

=4+0﹣4=0,且 =﹣4+4+0=0.

,即A1C⊥DB,A1C⊥BE,

又∵DB∩BE=B,∴A1C⊥平面BDE,即A1C⊥平面BED


(3)解:由(2)知 =(﹣2,2,﹣4)是平面BDE的一个法向量.

=(0,2,﹣4),

∴cos< >= =

∴A1B与平面BDE夹角的正弦值为


【解析】(1)建立空间直角坐标系,求出 ,利用 =0,即可求得结论;(2)证明 ,可得A1C⊥DB,A1C⊥BE,从而可得A1C⊥平面BED;(3)由(2)知 =(﹣2,2,﹣4)是平面BDE的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求A1B与平面BDE夹角的正弦值.

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