Question

【题目】如图所示，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C．

（1）求CE的长；
（2）求证：A1C⊥平面BED；
（3）求A1B与平面BDE夹角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示，

以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．

∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），

B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）．

设E点坐标为（0，2，t），则 =（﹣2，0，t）， =（﹣2，0，﹣4）．

∵BE⊥B1C，∴ =4+0﹣4t=0．

∴t=1，故CE=1．

（2）证明：由（1）得，E（0，2，1）， =（﹣2，0，1），

又 =（﹣2，2，﹣4）， =（2，2，0）

∴ =4+0﹣4=0，且 =﹣4+4+0=0．

∴ ⊥ 且 ⊥ ，即A1C⊥DB，A1C⊥BE，

又∵DB∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE，即A1C⊥平面BED

（3）解：由（2）知 =（﹣2，2，﹣4）是平面BDE的一个法向量．

又 =（0，2，﹣4），

∴cos＜ ， ＞= = ．

∴A1B与平面BDE夹角的正弦值为 ．

【解析】（1）建立空间直角坐标系，求出 、 ，利用 =0，即可求得结论；（2）证明 ⊥ 且 ⊥ ，可得A1C⊥DB，A1C⊥BE，从而可得A1C⊥平面BED；（3）由（2）知 =（﹣2，2，﹣4）是平面BDE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求A1B与平面BDE夹角的正弦值．