Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁内接于一个球，且底面ABCD边长为1，高AA₁为

2

，则A、B两点的球面距离为（　　）

• A、π
• B、

  π

  2

• C、

  π

  3

• D、

  π

  6

Answer 1

分析：已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD边长为1，高AA₁=

2

，它的八个顶点都在同一球面上，那么，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线长为球的直径，中点O为球心．则易得球的半径． 根据球面距离的定义，应先算出球面两点对球心的张角，再乘以球的半径即可．

解答：解：已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD边长为1，高AA₁=

2

，它的八个顶点都在同一球面上，
那么，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线长为球的直径，中点O为球心．
正四棱柱对角线AC₁=2，
则球的半径为1．
根据球面距离的定义，可得∠AOB=

π

3

；
则A，B两点的球面距离为

π

3

•1=

π

3

．
那么球的半径是 1；A，B两点的球面距离为

π

3

．
故选C．

点评：（1）涉及到多面体与球相关的“切”“接”问题时，关键是抓住球心的位置．球心是球的灵魂．
（2）根据球面距离的定义，应先算出球面两点对球心的张角，再乘以球的半径．这是通性通法．