Question

已知定义域为R的函数f（x）满足；f（x+y）=f（x）f（y），且f（3）＞1．
（1）求f（0）；
（2）求证：f（-4）＜1．

Answer 1

分析：（1）令已知等式f（x+y）=f（x）f（y）中的x=0，y=3，然后两边同除以f（3）求出f（0）的值．
（2）先将f（3）用f（1）表示，据f（3）的范围求出f（1）的范围，再利用已知等式将f（4）用f（1）表示求出f（4）的范围，利用已知条件得到f（-4）与f（4）的关系，进一步求出f（-4）的范围．

解答：解：（1）令x=0，y=3得
f（3）=f（0）f（3）
∵f（3）＞1
∴f（0）=1
（2）证明：∵f（x+y）=f（x）f（y），
∴f（3）=[f（1）]³＞1
∴f（1）＞1
∴f（4）=[f（1）]⁴＞1
∵f（4-4）=f（4）f（-4）
即f(-4)=

1

f(4)

＜1

点评：解决抽象函数的性质问题，一般利用所给的等式通过观察，给等式中的未知数赋值，求出需要的函数值．