Question

6．求下列各式的值．
（1）lg5²+lg2×lg50+（lg2）²
（2）log₂$\sqrt{\frac{7}{18}}$+log₂12一$\frac{1}{2}$log₂42
（3）lg（$\sqrt{3+\sqrt{5}}$+$\sqrt{3-\sqrt{5}}$）

Answer 1

分析 （1）利用lg2+lg5=1及其对数的运算性质即可得出；
（2）利用对数的运算性质即可得出．
（3）令x=$\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}$，则x²=10，可得x=$\sqrt{10}$．即可得出．

解答 解：（1）原式=2lg5+lg2×（lg5+1）+（lg2）²=lg5+lg2lg5+1+lg²2=lg5+1+lg2（lg5+lg2）=lg5+lg2+1=2．
（2）log₂$\sqrt{\frac{7}{18}}$+log₂12一$\frac{1}{2}$log₂42=$lo{g}_{2}\frac{12×\sqrt{\frac{7}{18}}}{\sqrt{42}}$=$lo{g}_{2}\frac{2}{\sqrt{3}}$=1-$\frac{1}{2}lo{g}_{2}3$．
（3）令x=$\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}$，则x²=3+$\sqrt{5}$+2$\sqrt{（3+\sqrt{5}）（3-\sqrt{5}）}$+3-$\sqrt{5}$=6+4=10，
∴x=$\sqrt{10}$．
∴lg（$\sqrt{3+\sqrt{5}}$+$\sqrt{3-\sqrt{5}}$）=lg$\sqrt{10}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了对数的运算性质、指数幂的运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．