Question

14．已知E（-2，4），F（4，1），G（8，9），△EFG的内切圆记为⊙M．
（1）试求出⊙M的方程；
（2）设过点P（0，3）作⊙M的两条切线，切点分别记为A，B；又过P作⊙N：x²+y²-4x+λy+4=0的两条切线，切点分别记为C，D．试确定λ的值，使AB⊥CD．

Answer 1

分析 （1）E（-2，4），F（4，1），G（8，9），△EFG为直角三角形，三边方程分别为x-2y+10=0，x+2y-6=0，2x-y-7=0，三边长分别为3$\sqrt{5}$，4$\sqrt{5}$，5$\sqrt{5}$，即可求圆的方程．
（2）根据PM⊥AB，PN⊥CD，则要使AB⊥CD，只要PM⊥PN即可，即由$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=0，建立关于λ的方程来求解．

解答 解：（1）E（-2，4），F（4，1），G（8，9），△EFG为直角三角形，三边方程分别为x-2y+10=0，x+2y-6=0，2x-y-7=0，三边长分别为3$\sqrt{5}$，4$\sqrt{5}$，5$\sqrt{5}$
∴R=$\sqrt{5}$
设M（a，b），则$\frac{|a-2b+10|}{\sqrt{5}}=\frac{|a+2b-6|}{\sqrt{5}}=\frac{|2a-b-7|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$
解得a=3，b=4
所以圆M的方程为（x-3）²+（y-4）²=5；
（2）要使AB⊥CD，则PM⊥PN，∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=0，
∵N（2，-$\frac{λ}{2}$），P（0，3），
∴（3，1）•（2，-$\frac{λ}{2}$-3）=0，
∴6-$\frac{λ}{2}$-3=0
∴λ=6．

点评 本题主要考查三角形的内切圆的求法以及圆的切线的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．