Question

已知函数f（x0=sin

x

3

cos

x

3

+

3

cos²

x

3

-

3

2

（1）将f（x）化为含Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的形式，写出f（x）的最小正周期及其对称中心；
（2）如果三角形ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对角为x，试求x的范围及此时函数f（3x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=sin（

2x

3

+

π

3

）．即可求f（x）的最小正周期为T，F（X）的对称中心；
（2）由b²=ac，可得cosx≥

1

2

，从而x∈（0，

π

3

），可求求x的范围及此时函数f（3x）的值域．

解答： 解：（1）f（x）=sin

x

3

cos

x

3

+

3

cos²

x

3

-

3

2

=

1

2

sin

2x

3

+

3

1+cos 2x 3

2

-

3

2

=sin

2x

3

cos

π

3

+cos

2x

3

sin

π

3

=sin（

2x

3

+

π

3

）．
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2 3

=3π
∴由

2x

3

+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，可解得：x=

3kπ

2

+

π

4

，k∈Z
∴f（x）的对称中心为（

3kπ

2

+

π

4

，0），k∈Z
（2）∵b²=ac，
∴cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

又x∈（0，π），∴x∈（0，

π

3

）  
而f（3x）=sin（

2

3

×3x+

π

3

）=sin（2x+

π

3

），
∵x∈（0，

π

3

），
∴2x+

π

3

∈（

π

3

，π]
∴f（3x）=sin（2x+

π

3

）∈[0，1]．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，余弦定理的应用，属于基本知识的考查．