题目内容
已知函数f(x)＝alnx＋bx,且f(1)＝ －1，f′(1)＝0，
⑴求f(x)；
⑵求f(x)的最大值；
⑶若x＞0,y＞0,证明：lnx＋lny≤
.
本题主要考查函数、导数的基本知识、函数性质的处理以及不等式的综合问题，同时考查考生用函数放缩的方法证明不等式的能力．
（1）f(x)＝lnx－x
（2）最大值为－1
（3）证明见解析。
解析:
⑴由b＝ f(1)＝ －1, f′(1)＝a＋b＝0, ∴a＝1,∴f(x)＝lnx－x为所求； ……………4分
⑵∵x＞0,f′(x)＝
－1＝
,
| x | 0＜x＜1 | x＝1 | x＞1 |
| f′(x) | ＋ | 0 | － |
| f(x) | ↗ | 极大值 | ↘ |
∴f(x)在x＝1处取得极大值－1，即所求最大值为－1； ……………8分
⑶由⑵得lnx≤x－1恒成立，
∴lnx＋lny＝
＋
≤
＋
＝
成立………12分
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.
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)