题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数的图象在
处的切线过点
,求
的值;
(2)当时,函数
在
上没有零点,求实数
的取值范围;
(3)当时,存在实数
使得
,求证:
.
【答案】(1);(2)
或
;(3)证明见解析.
【解析】分析:(1)先根据导数几何意义得切线斜率,再根据两点间斜率公式列等式,解得的值;(2)先求导数,根据a讨论导数零点情况,再根据对应单调性确定函数值域,最后根据无零点确定最小值大于零或最大值小于零,解得结果,(3)先根据
,解得
,代入
得
,再转化为一元函数:
最后利用导数证明h(t)< 0成立.
详解:(1)因为f ′(x)=-a,所以k=f ′(1)=1-a,
又因为f(1)=-a-b,所以切线方程为y+a+b=(1-a)(x-1),
因为过点(2,0),所以a+b=1-a,即2a+b=1.
(2)当b=0时,f(x)=lnx-ax,所以f ′(x)=-a=
.
10若a≤0,则f ′(x)>0,所以f(x)在(,+∞)上递增,所以f(x)>f(
)=-1-
,
因为函数y=f(x)在(,+∞)上没有零点,所以-1-
≥0,即a≤-e;
20若a>0,由f ′(x)=0,得x=.
①当≤
时,即a≥e时,f ′(x)<0,f(x)在(
,+∞)上递减,
所以f(x)<f()=-1-
<0,符合题意,所以a≥e;
②当>
时,即0<a<e时,若
<x<
,f ′(x)<0,f(x)在(
,
)上递增;
若x>,f ′(x)>0,f(x)在(
,+∞)上递减,
所以f(x)在x=处取得极大值,即为最大值,
要使函数y=f(x)在(,+∞)上没有零点,
必须满足f()=ln
-1=-lna-1<0,得a>
,所以
<a<e.
综上所述,实数a的取值范围是a≤-e或a>.
(3)不妨设0<x1<x2,
由f(x1)=f(x2),得lnx1-ax1-b=lnx2-ax2-b,
因为a>0,所以.
又因为,f ′(x)在(0,+∞)上递减,且f ′(
)=0,
故要证,只要证
,
只要证,只要证
,
只要证 (*),
令,记
,
则,
所以h(t)在(1,+∞)上递减,所以h(t)< h(1)=0,
所以(*)成立,所以原命题成立.
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