Question

9．已知等差数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=15，a₄+a₆=18，数列{b_n}的前n项和为S，且满足S_n=2b_n-2．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，求数列{c_n}的n前项和．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式可得a_n，利用递推关系与等比数列的通项公式可得b_n．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₂+a₃+a₄=15，a₄+a₆=18，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+6d=15}\\{2{a}_{1}+8d=18}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
由S_n=2b_n-2，
当n=1时，b₁=2b₁-2，解得b₁=2．
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2-（2b_n-1-2），
化为b_n=2b_n-1，
∴数列{b_n}是等比数列，公比为2，首项为2．
∴b_n=2ⁿ．
（2）c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴数列{c_n}的n前项和T_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$．
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+2（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$．
∴T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．