题目内容
【题目】已知函数.其中
是自然对数的底数.
(1)求函数在点
处的切线方程;
(2)若不等式对任意的
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);
(2).
【解析】
(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率,再求出切点坐标即可得在点
处的切线方程;
(2)令,
然后利用导数并根据a的情况研究函数
的单调性和最值.
(1),
,
∴,
又,
∴切线方程为,即
.
(2)令,
,
①若,则
在
上单调递减,又
,
∴恒成立,∴
在
上单调递减,又
,
∴恒成立.
②若,令
,
∴,易知
与
在
上单调递减,
∴在
上单调递减,
,
当即
时,
在
上恒成立,
∴在
上单调递减,即
在
上单调递减,
又,∴
恒成立,∴
在
上单调递减,
又,∴
恒成立,
当即
时,
使
,
∴在
递增,此时
,∴
,
∴在
递增,∴
,不合题意.
综上,实数的取值范围是
.

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