题目内容
【题目】如果实系数、
、
和
、
、
都是非零常数.
(1)设不等式和
的解集分别是
、
,试问
是
的什么条件?并说明理由.
(2)在实数集中,方程和
的解集分别为
和
,试问
是
的什么条件?并说明理由.
(3)在复数集中,方程和
的解集分别为
和
,证明:
是
的充要条件.
【答案】(1)既不充分也不必要条件;(2)充分不必要条件;(3)充见解析.
【解析】
(1)通过举反例判断出推不出
,反之
也推不出
,根据充要条件的有关定义得出结论.
(2)通过举反例判断出,推不出两个方程的系数之间的关系,反之当两个方程的系数对应成比例,两个方程式是同解方程,利用充要条件的有关定义得到结论.
(3)两个方程的系数对应成比例,所以两个方程是同解方程,充分性得证,由韦达定理可以证明必要性.
(1)若,
,则
,
若,则两个不等式的系数之间没有关系.
是
的既不充分也不必要条件.
(2)若,则两个方程的系数之间没有关系.
由于两个方程的系数对应成比例,所以两个方程式同解方程.
是
的充分不必要条件.
(3)是
的充要条件,
由于两个方程的系数对应成比例,所以两个方程是同解方程.充分性得证.
当时,由韦达定理可得
,
,即
,
,
从而可得,即必要性成立.
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