Question

【题目】被嘉定著名学者钱大昕赞誉为“国朝算学第一”的清朝数学家梅文鼎曾创造出一类“方灯体”，“灯者立方去其八角也”，如图所示，在棱长为的正方体中，点为棱上的四等分点.

（1）求该方灯体的体积；

（2）求直线和的所成角；

（3）求直线和平面的所成角．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）计算出八个角（即八个三棱锥）的体积之和，然后利用正方体的体积减去这八个角的体积之和即可得出方灯体的体积；

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线和的所成角；

（3）求出平面的法向量，利用空间向量法求出直线和平面的所成角的正弦值，由此可得出和平面的所成角的大小.

（1）在棱长为的正方体中，点为棱上的四等分点，

该方灯体的体积：；

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

、、、，，，

设直线和的所成角为，则，

直线和的所成角为；

（3），，，，

设平面的法向量，

则，得，取，得，

设直线和平面的所成角为，则，

直线和平面的所成角为．