题目内容

已知实数a,b满足:(a-1)3+2011(a-1)=2012,(b-1)3+2011(b-1)=-2012.则下列四个结论中正确的结论的序号是________.
①点(a,b)在一条定直线上;
数学公式
③a>b;
④(a-1)(b-1)=2011.

①③
分析:令a-1=x,b-1=y,则:x3+2011x=2012,y3+2011y=-2012,两方程相加可得:(x+y)(x2-xy+y2+2011)=0,从而可得a+b-2=0,故①正确;可求a=2,b=0,故②不正确;③正确;不正确.
解答:令a-1=x,b-1=y,则:x3+2011x=2012,y3+2011y=-2012
两方程相加可得:(x+y)(x2-xy+y2+2011)=0,
∵x2-xy+y2+2011≠0,∴x+y=0,∴a+b-2=0,∴①正确
∵x3+2011x=2012,∴x3-1+2011(x-1)=0
∴(x-1)(x2+x+2012)=0
∵x2+x+2012≠0,∴x=1,∴a=2,故②不正确;
∵a+b-2=0,∴b=0,∴a>b,故③正确;
∵(a-1)(b-1)=-1,∴④不正确
故答案为:①③
点评:本题考查合情推理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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