Question

19．对于一个数学问题“”a+b=1，a、b∈R⁺，求$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值”．
学生甲这样考虑：由a+b=1≥2$\sqrt{ab}$⇒ab≤$\frac{1}{4}$⇒$\frac{1}{ab}$≥4⇒$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$≥2$\sqrt{\frac{2}{ab}}$≥4$\sqrt{2}$，答案为4$\sqrt{2}$；
学生乙从另一个角度考虑：$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=$\frac{a+b}{a}$+$\frac{2a+2b}{b}$=3+$\frac{b}{a}$+$\frac{2a}{b}$≥3+2$\sqrt{2}$，由此得答案为3+2$\sqrt{2}$．
你认为哪一个结果正确？请说明理由．

Answer 1

分析 应用基本不等式需判断等号成立的条件，可以看出甲的计算中，$a+b≥2\sqrt{ab}$和$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}≥2\sqrt{\frac{2}{ab}}$等号不能同时取到，从而说明甲的结果错误，而乙中的等号是可以取到的，便说明乙的结果正确．

解答 解：乙的结果正确；
对于甲$a+b=1≥2\sqrt{ab}$，等号成立的条件是“a=b”；
而$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}≥2\sqrt{\frac{2}{ab}}$的等号成立的条件是“$\frac{1}{a}=\frac{2}{b}$”；
显然这两个等号不能同时取到；
∴甲的结果错误；
而对于乙，$\frac{b}{a}=\frac{2a}{b}$时取“=”，等号是可以取到的；
∴乙的结果正确．

点评 考查基本不等式在求最值中的应用，应用基本不等式要判断等号能否取到，以及要注意等号成立的条件．