Question

9．设函数f（x）=log_（n+1）（n+2），n∈N^*．
（1）求f（1）•f（2）和f（1）•f（2）•f（3）•f（4）•f（5）•f（6）的值；
（2）若把使f（1）•f（2）…f（k）为整数的正整数k叫做企盼数．试求f（1）•f（2）…f（k）=2014的企盼数k．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用对数的运算法则和换底公式，能求出f（1）•f（2）和f（1）•f（2）•f（3）•f（4）•f（5）•f（6）的值；
（2）利用企盼数的定义，结合题设条件能求出k的值．

解答 解：（1）∵f（x）=log_（n+1）（n+2），n∈N^*，
∴f（1）•f（2）=log₂3•log₃4=$\frac{lg3}{lg2}×\frac{lg4}{lg3}$=$\frac{lg4}{lg2}$=2．
f（1）•f（2）•f（3）•f（4）•f（5）•f（6）
=log₂3•log₃4•log₄5•log₅6•log₆7•log₇8
=$\frac{lg3}{lg2}×\frac{lg4}{lg3}×\frac{lg5}{lg4}×\frac{lg6}{lg5}×\frac{lg7}{lg6}×\frac{lg8}{lg7}$
=$\frac{lg8}{lg2}$
=3．
（2）由对数的换底公式得f（1）•f（2）•…•f（k）=log₂（k+2）=2014，
∴k+2=2²⁰¹⁴，
∴k=2²⁰¹⁴-2．

点评 本题主要考查对数的运算以及对数的换底公式，要求熟练掌握对数的换底公式，考查学生的运算能力．