题目内容
【题目】如图，在直三棱柱
中，点
分别为线段
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）若
在边
上，
，求证：
.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）由题意，利用三角形中位线定理可证MN∥BC，即可判定MN∥平面
；（2）利用线面垂直的性质可证CC1⊥AD，结合已知可证AD⊥平面，从而证明AD⊥BC，结合（1）知，MN∥BC，即可证明MN⊥AD
试题解析：（1）如图，连结A1C．
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形．
又因为N为线段AC1的中点，
所以A1C与AC1相交于点N，
即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点． ……………… 2分
因为M为线段A1B的中点，
所以MN∥BC． ……………… 4分
又MN平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C． ………………… 6分
（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．
又AD平面ABC，所以CC1⊥AD． …………………… 8分
因为AD⊥DC1，DC1平面BB1C1C，CC1平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，
所以AD⊥平面BB1C1C． …………………… 10分
又BC平面BB1C1C，所以AD⊥BC． …………………… 12分
又由（1）知，MN∥BC，所以MN⊥AD． …………………… 14分
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