Question

【题目】已知动圆过定点，且与直线相切．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）过（1）中轨迹上的点作两条直线分别与轨迹相交于两点，试探究：当直线的斜率存在且倾斜角互补时，直线的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由题及抛物线的定义知，轨迹是以定点为焦点，直线为准线的抛物线，即可求解点的轨迹方程；（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，代入抛物线的方程，求出的纵坐标，表示直线的斜率，即可求得结论．

试题解析：（1）由题及抛物线的定义知，轨迹是以定点为焦点，直线为准线的抛物线，∴，∴，即轨迹．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）由题知，

由①—②得，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

设直线的斜率为，则直线的斜率为，

∴，则由，

∴，∴，

同理得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

∴，

即直线的斜率为定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分