Question

已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且f(x)最小值是－1，函数g(x)与f(x)的图像关于原点对称．
（1）求f(x)和g(x)的解析式；
（2）若h(x)＝f(x)－λg(x)在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）f(x)＝x²＋2x. g(x)＝－x²＋2x
（2）(－∞，0]

试题分析：(1)依题意，设f(x)＝ax(x＋2)＝ax²＋2ax(a>0)．
f(x)图像的对称轴是x＝－1，∴f(－1)＝－1，
即a－2a＝－1，∴a＝1，∴f(x)＝x²＋2x.
∵函数g(x)的图像与f(x)的图像关于原点对称，
∴g(x)＝－f(－x)＝－x²＋2x.
(2)由(1)得h(x)＝x²＋2x－λ(－x²＋2x)＝(λ＋1)x²＋2(1－λ)x.
①当λ＝－1时，h(x)＝4x满足在区间[－1,1]上是增函数；
②当λ<－1时，h(x)图像对称轴是x＝，
则≥1，又λ<－1，解得λ<－1；
③当λ>－1时，同理需≤－1，
又λ>－1，解得－1<λ≤0.
综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．
点评：主要是考查了待定系数法求解函数解析式，以及二次函数性质的运用，属于基础题。