题目内容
【题目】已知函数 。
(1)若曲线与
在点
处的切线互相垂直,求
值;
(2)讨论函数的零点个数。
【答案】(1);(2)见解析
【解析】试题分析:(1)根据题意,求得,由
,即可求得
的值;
(2)由题意,令
,分
、
和
三种情形分讨论,得到函数的单调性和极值,即可判断函数的零点的个数
试题解析:
(1),
由题意,解得
.
(2),令
,
①当时,
在定义域
上恒大于
没有零点;
②当时,
在
上恒成立,所以
在定义域
上为增函数,
因为,所以
有1个零点;
③当时,
因为当时,
在
上为减函数,
当时,
在
上为增函数,
所以时,
没有零点;
当时,
有1个零点
,
当时,
,
因为且
,所以方程
在区间
上有一解,
因为当时,
,所以
,
所以,
因为,所以
,
所以在
上有一解,所以方程
在区间
上有两解,
综上所述,当时,函数
没有零点,
当或
时,函数
有1个零点,
当时,函数
有2个零点.
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