Question

【题目】甲乙丙三人在进行一项投掷骰子游戏中规定：若掷出1点，甲得1分，若掷出2点或3点，乙得1分；若掷出4点或5点或6点，丙得1分，前后共掷3次，设x，y，z分别表示甲、乙、丙三人的得分．
（1）求x=0，y=1，z=2的概率；
（2）记ξ=x+z，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：设事件A表示“投掷一次骰子甲得一分”，事件B表示“投掷一次骰子乙得一分”，事件C表示“投掷一次骰子丙得一分”，

则P（A）= ，P（B）= ，P（C）= ，

∴x=0，y=1，z=2的概率p=（ ）3C （ ）（ ）2 =

（2）解：X=0，1，2，3； Y=0，1，2，3； Z=0，1，2，3．

但是只得3次分，因而必须满足X+Y+Z=3，随机变量ξ的样本空间为{0，1，2，3}

事实上ξ=3﹣Y，

∴P（ξ=0）=P（Y=3）=（ ）3= ，

P（ξ=1）=P（Y=2）= = ，

P（ξ=2）=P（Y=1）= = ，

P（ξ=3）=P（Y=0）=（ ）3= ，

∴ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P

E（ξ）= =2

【解析】（1）设事件A表示“投掷一次骰子甲得一分”，事件B表示“投掷一次骰子乙得一分”，事件C表示“投掷一次骰子丙得一分”，由已知得P（A）= ，P（B）= ，P（C）= ，从而能求出x=0，y=1，z=2的概率．（2）X=0，1，2，3； Y=0，1，2，3； Z=0，1，2，3．但是只得3次分，因而必须满足X+Y+Z=3，随机变量ξ的样本空间为{0，1，2，3}，事实上ξ=3﹣Y，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．