Question

【题目】已知（）．

（Ⅰ）判断当时的单调性；

（Ⅱ）若，（）为两个极值点，求证：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在定义域上为单调增函数；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）先利用换元法求出，然后求函数的导数，结合函数单调性和导数的关系进行判断即可．

（Ⅱ）根据极值的定义得到有两个不相等的正实数根，，利用根与系数之间的关系进行转化证明即可．

（Ⅰ）因为（），

所以，（）．，

当时，，恒成立．

于是，在定义域上为单调增函数．

（Ⅱ）证明：，

由题设知，有两个不相等的正实数根，，

则，即，得

而 ，

又，

故欲证原不等式等价于证明不等式：

也就是要证明：对任意，有

令，由于，并且，

当时，，则在上为减函数；

当时， ，则在上为增函数．

则在上有最大值，即，故原不等式成立．