题目内容

有下列五个命题：
①在△ABC中，p：A＞B；q：sinA＞sinB；则命题p是命题q的充要条件；
②p：数列{an}是等差数列，q：数列{an}是单调数列；命题p是命题q的充要条件；
③P：△ABC是锐角△ABC，q：sinA＞cosB；则命题p是命题q的充要条件；
④α≠
π
6
或β≠
π
6
是cos（α+β）≠
1
2
成立的必要不充分条件；
⑤a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的充分不必要条件．
其中正确的命题序号是
 
．
考点：命题的真假判断与应用
专题：简易逻辑
分析：①在△ABC中，由正弦定理可得
a
sinA
=
b
sinB
，对于q：sinA＞sinB?a＞b?A＞B．即可判断出．
②p：数列{an}是等差数列，取an=1，而不是单调数列；q：数列{an}是单调数列，取an=
1
n
，而不是等差数列，即可判断出．
③对于q：sinA＞cosB=sin(
π
2
-B)，由①可得A＞
π
2
-B，可知△ABC可以不是锐角△ABC，即可判断出；
④由cos（α+β）≠
1
2
成立，可得α≠
π
6
或β≠
π
6
，而反之不成立，例如取α+β=2π+
π
3
，即可判断出；
⑤方程ax2+2x+1=0有实数根，则△≥0或a=0，解得a≤1或a=0，当a≠0时，方程的两个实数根满足x1x2=
1
a
，当a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根，而a=0，方程的实数根为-
1
2
．即可判断出．
解答： 解：①在△ABC中，由正弦定理可得
a
sinA
=
b
sinB
，对于q：sinA＞sinB?a＞b?A＞B．因此命题p是命题q的充要条件，正确．
②p：数列{an}是等差数列，取an=1，而不是单调数列，∴p推不出q；q：数列{an}是单调数列，取an=
1
n
，而不是等差数列；因此命题p是命题q的既不充分也不必要条件，因此不正确．
③对于q：sinA＞cosB=sin(
π
2
-B)，由①可得A＞
π
2
-B，因此△ABC可以不是锐角△ABC；因此命题p是命题q的充要条件不正确；
④由cos（α+β）≠
1
2
成立，可得α≠
π
6
或β≠
π
6
，而反之不成立，例如取α+β=2π+
π
3
，因此α≠
π
6
或β≠
π
6
是cos（α+β）≠
1
2
成立的必要不充分条件；
⑤方程ax2+2x+1=0有实数根，则△≥0或a=0，解得a≤1或a=0，当a≠0时，方程的两个实数根满足x1x2=
1
a
，因此a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的充分条件；
而a=0，方程的实数根为-
1
2
．∴a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的充分不必要条件．正确．
其中正确的命题序号是 ①④⑤．
故答案为：①④⑤．
点评：本题考查了简易逻辑的有关知识、正弦定理的应用、三角函数的单调性、一元二次由实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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1
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