Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=

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2

．求椭圆的方程．

Answer 1

分析：先设椭圆方程的标准形式，然后与直线方程联立消去y，得到两根之和、两根之积的关系式，再由OP⊥OQ，|PQ|=

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2

可得到两点坐标的关系式，然后再与两根之和、两根之积的关系式联立可求a，b的值，从而可确定椭圆方程．

解答：解：设所求椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1.
依题意知，点P、Q的坐标满足方程组
①②

x2 a2 + y2 b2 =1 y=x+1.

将②式代入①式，整理得
（a²+b²）x²+2a²x+a²（1-b²）=0，③
设方程③的两个根分别为x₁，x₂，那么直线y=x+1与椭圆的交点为P（x₁，x₁+1），Q（x₂，x₂+1）．
由题设OP⊥OQ，|PQ|=

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，可得

x1+1 x1 • x2+1 x2 =-1 (x2-x1)2+[(x2+1)-(x1+1)]2=( 10 2 )2.

整理得
④⑤

(x1+x2)+2x1x2+1=0 4(x1+x2)2-16x1x2-5=0.

解这个方程组，得

x1x2= 1 4 x1+x2=- 3 2

或

x1x2=- 1 4 x1+x2=- 1 2 .

根据根与系数的关系，由③式得
（Ⅰ）

2a2 a2+b2 = 3 2 a2(1-b2) a2+b2 = 1 4

或（Ⅱ）

2a2 a2+b2 = 1 2 a2(1-b2) a2+b2 =- 1 4 .

解方程组（Ⅰ），（Ⅱ），得

a2=2 b2= 2 3

或

a2= 2 3 b2=2.

故所求椭圆的方程为

x2

2

+

y2

2 3

=1，或

x2

2 3

+

y2

2

=1.

点评：本题主要考查直线与椭圆的综合题．直线与圆锥曲线的综合题一般是将两方程联立消去x或y得到一元二次方程，然后表示出两根之和、两根之积，再由题中条件可解题．