题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)若,求函数
的单调递减区间;
(Ⅱ)证明当时,
;
(Ⅲ)若关于的不等式
恒成立,求整数
的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)整数
的最小值为2.
【解析】试题分析:(1)求出导数,解即可求出单减区间;(2)由(Ⅰ)得:
在
递减,∴
,故
,
时,
,分别令
,累加即可得证;(3)由
恒成立得
在
上恒成立,问题等价于
在
上恒成立,只需利用导数求
的最大值即可.
试题解析:
(Ⅰ)因为,所以
此时,
,
由,得
,又
,所以
,所以
的单调减区间为
.
(Ⅱ)令,由(Ⅰ)得:
在
递减,∴
,
故,
时,
,分别令
,
故
,
∴时,
.
(Ⅲ)由恒成立得
在
上恒成立,问题等价于
在
上恒成立.
令,只要
.
因为,令
,得
.
设,
在
上单调递减,不妨设
的根为
.当
时,
;当
时,
,
所以在
上是增函数;在
上是减函数.
所以
.
因为,
,所以
,此时
,即
.
所以整数的最小值为2.
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