题目内容
已知数列{an}满足an+1=| an-2 |
| 2an-3 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）计算a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列的通项an，并利用数学归纳法证明．
分析：（Ⅰ）由递推公式，令n=2，3，4易得；
（Ⅱ）通过a2，a3，a4猜想，再用数学归纳法证明，要注意分两步证明．
（Ⅱ）通过a2，a3，a4猜想，再用数学归纳法证明，要注意分两步证明．
解答：解：（Ⅰ）由递推公式，得a2=
=
=
，（3分）
（Ⅱ）猜想：an=
．（5分）
证明：①n=1时，由已知，等式成立．（6分）
②设n=k（k∈N*）时，等式成立．即ak=
．（7分）
所以ak+1=
=
=
=
=
，
所以n=k+1时，等式成立．（9分）
根据①②可知，对任意n∈N*，等式成立．即通项an=
．
| a1-2 |
| 2a1-3 |
| ||
2•
|
| 3 |
| 4 |
（Ⅱ）猜想：an=
| 2n-1 |
| 2n |
证明：①n=1时，由已知，等式成立．（6分）
②设n=k（k∈N*）时，等式成立．即ak=
| 2k-1 |
| 2k |
所以ak+1=
| ak-2 |
| 2ak-3 |
| ||
2•
|
| 2k-1-4k |
| 4k-2-6k |
| 2k+1 |
| 2k+2 |
| 2(k+1)-1 |
| 2(k+1) |
所以n=k+1时，等式成立．（9分）
根据①②可知，对任意n∈N*，等式成立．即通项an=
| 2n-1 |
| 2n |
点评：本题主要考查推理和数学归纳法的证明方法及思路．
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