题目内容
【题目】已知为实常数,函数
.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数有两个不同的零点,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ) 在
上是增函数,在
上是减函数;
(Ⅱ) 的取值范围是
【解析】
试题分析:
(1)求出函数的定义域后对函数进行求导,通过讨论导函数的符号,即可得出函数的单调性.(2)在(1)的基础上知,函数有两个不同的零点的必要条件是a>0且
(
)=ln
>0,解得0<a<1.为求充分条件,通过分析后取x=
(
)=﹣1﹣
+1=﹣
<0,由函数零点存在定理知在(
,
)存在一个零点. 再取x=
,通过分析后
(
)<0,易知存在x∈(
,
),使得
(x)=0,所以可知0<a<1时函数
有两个不同的零点.
试题解析:
解:(Ⅰ)(x) =lnx+1﹣ax,
函数(x)的定义域为(0,+∞),其导数
′(x)=
.
①当a≤0时,′(x)>0,函数
(x)在(0,+∞)上是增函数;
②当a>0时,′(x)>00<x<
;
′(x)<0x>
.
所以函数(x)在(0,
)上是增函数,在(
,+∞)上是减函数.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,当a≤0时,函数(x)在(0,+∞)上是增函数,不可能有两个零点;
当a>0时,函数(x)在(0,
)上是增函数,在(
,+∞)上是减函数,
此时(
)为函数g(x)的最大值,
若(
)≤0,则函数
(x)最多有一个零点,不合题意,
所以(
)=ln
>0,解得0<a<1.
因为,<1<
<
,取
(
)=﹣1﹣
+1=﹣
<0,
则x1∈(,
),使得
(x1)=0;
取(
)=2﹣2lna﹣
(0<a<1),
令F(a)=2﹣2lna﹣(0<a<1),则F′(a)=﹣
+
=
>0,(0<a<1),
所以F(a)在(0,1)上单调递增.
所以F(a)<F(1)=2﹣e<0,即(
)<0,则x2∈(
,
),使得
(x2)=0,
故函数(x)有两个不同的零点x1,x2(x1<x2),且x1,x2∈(
,
).
综上a的取值范围是(0,1).
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】甲、乙两台机床生产同一型号零件.记生产的零件的尺寸为(cm),相关行业质检部门规定:若
,则该零件为优等品;若
,则该零件为中等品;其余零件为次品.现分别从甲、乙机床生产的零件中各随机抽取50件,经质量检测得到下表数据:
尺寸 | ||||||
甲零件频数 | 2 | 3 | 20 | 20 | 4 | 1 |
乙零件频数 | 3 | 5 | 17 | 13 | 8 | 4 |
(Ⅰ)设生产每件产品的利润为:优等品3元,中等品1元,次品亏本1元.若将频率视为概率,试根据样本估计总体的思想,估算甲机床生产一件零件的利润的数学期望;
(Ⅱ)对于这两台机床生产的零件,在排除其它因素影响的情况下,试根据样本估计总体的思想,估计约有多大的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”,并说明理由.
参考公式:.
参考数据:
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635