题目内容

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是边长为1的正方形，侧棱垂直底边ABCD四棱柱，AA₁=2，E是侧棱AA₁的中点，求
（1）求异面直线BD与B₁E所成角的大小；
（2）求四面体AB₁D₁C的体积．

解：（1）连接B₁D₁、D₁E，

∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁B∥D₁D且B₁B=D₁D
∴四边形BB₁D₁D是平等四边形
因此B₁D₁∥BD，可得∠EB₁D₁或其补角就是异面直线BD与B₁E所成角
∵AA₁=2AB=2，∴B₁D₁=ED₁=B₁E= $\text{[math]}$ ，得△B₁D₁E是等边三角形，∠EB₁D₁=60°
由此可得，异面直线BD与B₁E所成角的大小为60°；
（2）根据题意，得 $\text{[math]}$ =S_{正方形ABCD}×AA₁=2
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×1×1×2= $\text{[math]}$
∴四面体AB₁D₁C的体积为
V= $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=2- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）连接B₁D₁、D₁E，可得平行四边形BB₁D₁D中，B₁D₁∥BD，所以∠EB₁D₁或其补角就是异面直线BD与B₁E所成角．再由已知条件算出△B₁D₁E是等边三角形同，从而可得异面直线BD与B₁E所成角的大小为60°；
（2）算出正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁位于B、A₁、C₁、D四个角上的全等的三棱锥的体积，再用正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积减去这四个三棱锥体积，即可得到四面体AB₁D₁C的体积．
点评：本题在正四棱柱中求异面直线所成角，并求四面体的体积，着重考查了正棱柱的性质、异面直线所成角和体积的求法等知识，属于基础题．