Question

16．如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）图象的一部分．
（1）求出A，ω，φ的值；
（2）当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，求不等式f（x-$\frac{π}{6}$）＞f²（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）-2的解集．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的图象求出A，ω，φ，即可确定函数的解析式；
（2）根据函数的表达式，将不等式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（1）由函数的图象知A=2，$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{3}-\frac{π}{12}$=$\frac{π}{4}$
∴函数的周期T=π．
即 $\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，
即f（x））=2sin（2x+φ），
由五点对应法得$\frac{π}{12}$×2+φ=$\frac{π}{2}$，解得φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x））=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
即A=2，ω=2，φ=$\frac{π}{3}$．
（2）由f（x-$\frac{π}{6}$）＞f²（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）-2得2sin2x＞4sin²x-2，
即sin2x+cos2x＞0，即$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）＞0，
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴2x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），
∴$\frac{π}{4}$＜2x+$\frac{π}{4}$＜π，
解得0＜x＜$\frac{3π}{8}$，
即不等式的解集为（0，$\frac{3π}{8}$）．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求法以及三角不等式的求解，根据三角函数的图象是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．