题目内容
如图所示,在圆锥PO中, PO=,?O的直径AB=2, C为弧AB的中点,D为AC的中点.
(1)求证:平面POD^平面PAC;
(2)求二面角B—PA—C的余弦值.
(1)求证:平面POD^平面PAC;
(2)求二面角B—PA—C的余弦值.
(1)见解析;(2)
试题分析:(1)通过证平面PAC内直线AC^平面POD,由平面与平面垂直的判定定理得平面PAC^平面POD;(2)用垂面法作出二面角的平面角,然后在直角三角形中利用边长求平面角的余弦值.
试题解析:证明:(1)如图所示,连接OC.
OA=OC,D是AC的中点,\AC^OD,在圆锥PO中,PA=PC,
则AC^PD,又PDÇOD=D,\AC^平面POD,而ACÌ平面PAC,
\平面POD^平面PAC 5分
(2)在平面POD中,过O作OH^PD于H,由(1)知:
平面POD^平面PAC,\OH^平面PAC,过H作HG^PA于G,连OG,则OG^PA(三垂线定理)
\ÐOGH为二面角B—PA—C的平面角,
在RtDODA中,OD=OA×450=.
在RtDPOD中,OH= = =.
在RtDPOA中,OG= = =.
在RtDOHG中,sinÐOGH= = =.
所以,cosÐOGH= = =
所以,二面角B—PA—C的余弦值为. 10分
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